
\prob{0037}{数字分组}

有$12$个数，分别是
\[ 2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3, 3, 3, 3, 3.5, 4, 4.5 \]
将它们分为$5$组，分别记为$A, B, C, D, E$，五组数的和是连续的整数，从$A$到$E$递增。若$B$组中至少有一个$3$，$E$组中至少有一个$2$，那么$3.5$一定在哪个组？
\problabels{yellow/代数, green/数学谜题}

\ans{$D$组}

\subsection{两两配对}

由于
\[ 2 + 2 + 2 + 2.5 + 2.5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3.5 + 4 + 4.5 = 35 \]
可知$C$组数的和为$35 \div 5 = 7$，故$A$到$E$组数的和分别为$5, 6, 7, 8, 9$。

注意到这些数中有4个非整数，分别为$2.5, 2.5, 3.5, 4.5$；而一组数的和为整数，故任一非整数不可能独处于一组数中，必然两两配对。对配对的情况进行分情况讨论。

若$3.5$与$2.5$、$4.5$与$2.5$组成两对，则$3.5$与$2.5$一对必然在$D$组。这是由于$3.5 + 2.5 = 6$，故不可能在$A, B$组；而若在$C, E$组，则$C$或$E$组数的和将比要求小1；故$3.5$在$D$组。

若$3.5$与$4.5$、$2.5$与$2.5$组成两对，则$3.5$与$4.5$一对也必然在$D$组。这是由于$3.5 + 4.5 = 8$，故不可能在$A, B, C$组；而若在$E$组，则$E$组不可能有$2$；故$3.5$在$D$组。

综上，$3.5$必然在$D$组。
